Encontre f'(x) e f''(x) .

f(x) = (x^2) / (1 + e^x)

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver juntos essa derivada.

Deseja-se obter f ' ( x ) e f " ( x ) dado

f x = x 2 1 + e x

A derivada de f ( x ) pode ser calculada pela Regra da Derivada do Quociente:

d d x u x v x = v u ' - u v ' v 2

Então vamos aplicar essa regra e derivar a função que nos foi dada, uma vez para f ' x e após isso iremos derivar novamente f ' ( x ) encontrando f ' ' x .

Passo 2

Colocando em pratica a regra do quociente:

f x = x 2 1 + e x

f ' x = 1 + e x 2 x - x 2 e x 1 + e x 2

f ' x = 2 x + e x 2 x - x 2 e x 1 + e x 2

f ' x = 2 x + e x 2 x - x 2 e x ( 1 + 2 e x + e 2 x )

Agora vamos ter que derivar f ' ( x ) .

Passo 3

Vamos aplicar a regra do quociente novamente aqui:

f ' ' x = 1 + 2 e x + e 2 x ∙ d d x 2 x + e x 2 x - x 2 e x - 2 x + e x 2 x - x 2 e x ∙ d d x ( 1 + 2 e x + e 2 x ) 1 + 2 e x + e 2 x 2

Agora temos uma situação, temos alguns termos que precisamos derivar que são produto entre funções, quando isso acontece, deveremos utilizar da regra do produto para derivação:

Dado u ( x ) e g ( x ) , temos:

d d x u x ∙ v x = u ∙ v ' + u ' ∙ v

Então, dada essa observação, vamos partir para a continuação da nossa derivada:

f ' ' x = 1 + 2 e x + e 2 x ∙ 2 + e x 2 x + 2 e x - 2 x e x + x 2 e x - 2 x + e x 2 x - x 2 e x ∙ 2 e x + 2 e x 2 1 + 2 e x + e 2 x 2

Agora vamos tentar organizar os temos, para que não fique essa equação gigante como a nossa derivada:

f ' ' x = 1 + 2 e x + e 2 x ∙ 2 + 2 e x - x 2 e x - 2 x + e x 2 x - x 2 e x ∙ 2 e x + 2 e x 2 1 + 2 e x + e 2 x 2

Para não crescermos mais ainda a quantidade de termos, vamos ficar com essa notação para a segunda derivada, mas veja que o mais importante é que você tenha entendido as regras de derivação que utilizamos aqui.

Resposta

f ' x = 2 x + e x 2 x - x 2 e x ( 1 + 2 e x + e 2 x )

f ' ' x = 1 + 2 e x + e 2 x ∙ 2 + 2 e x - x 2 e x - 2 x + e x 2 x - x 2 e x ∙ 2 e x + 2 e x 2 1 + 2 e x + e 2 x 2

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Derive.f(x) = (x^3 + 2x) * e^x
Derive.J(v) = (v^3 - 2v)(v - 4) + (v - 2)
Derive:17) y = e^p (p + p * raiz(p))
Se f 2 = 10 e f ' x = x 2 ⋅ f x para todo x , encontre f ' ' 2 .
Se f(x) = e^x / (2x² + x + 1) ² , encontre f'(x) .Verifique se sua resposta em (a) é razoável, comparando os gráficos de f e f' .