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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 220

Sendo sec x = 4 e (3 pi)/(2) < x < 2 pi , calcule t g ((pi + x)/(2)) .

Passo 1

A dificuldade dessa questão talvez seja analisar a restrição dada para o x. Primeiro temos que notar que x está no quarto quadrante do círculo trigonométrico, então seu cosseno é positivo. Logo, podemos escrever:

sec x = 4

(1)/(cos x) = 4

cos x = (1)/(4)

Podemos calcular também o s e n x utilizando a relação fundamental da trigonometria:

s e n x = sqrt(1 - ((1)/(4))^2) = (sqrt(15))/(4)

Passo 2

Agora, vamos nos concentrar em escrever melhor t g ((pi + x)/(2)) . Podemos escrever da seguinte forma:

t g ((pi + x)/(2)) = t g ((pi)/(2) + (x)/(2))

E podemos dizer ainda que:

t g ((pi)/(2) + (x)/(2)) = (s e n ((pi)/(2) + (x)/(2)))/(cos ((pi)/(2) + (x)/(2)))

Agora voltando a falar da restrição do x, temos que ter cuidado pois agora utilizaremos o arco (pi)/(2) . Para entender onde está esse arco, podemos pegar a restrição original e dividi-la por 2, dessa forma ficando com:

(3 pi)/(2) < x < 2 pi -> (3 pi)/(4) < x < pi

Ou seja, nosso arco está no terceiro quadrante, onde a tg é negativa.

Passo 3

Aqui nosso desafio será calcular s e n (x)/(2) e cos (x)/(2) para depois substituir no seno e no cosseno da soma. s e n (x)/(2) = sqrt((1 - (1)/(4))/(2)) = sqrt((3)/(8))

cos (x)/(2) = - sqrt((1 + (1)/(4))/(2)) = - sqrt((5)/(8))

No caso do cosseno, como já dito, ele é negativo pela restrição do x

Passo 4

Por fim, vamos utilizar as fórmulas de seno e cosseno da soma para escrever s e n ((pi)/(2) + (x)/(2)) e cos ((pi)/(2) + (x)/(2)) .

s e n ((pi)/(2) + (x)/(2)) = s e n (pi)/(2) * c o s (x)/(2) + s e n (x)/(2) * cos (pi)/(2)

s e n ((pi)/(2) + (x)/(2)) = - sqrt((5)/(8))

cos ((pi)/(2) + (x)/(2)) = cos (pi)/(2) * cos (x)/(2) - s e n (pi)/(2) * sen (x)/(2)

cos ((pi)/(2) + (x)/(2)) = - sqrt((3)/(8))

Passo 5

Agora basta substituir as informações na expressão que obtivemos no passo 2.

t g ((pi)/(2) + (x)/(2)) = (s e n ((pi)/(2) + (x)/(2)))/(cos ((pi)/(2) + (x)/(2))) = (- sqrt((5)/(8)))/(- sqrt((3)/(8))) = + sqrt((5)/(3)) = + (sqrt(15))/(3)

Resposta

t g ((pi)/(2) + (x)/(2)) = (sqrt(15))/(3)

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