Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

18. a_n = (-4)^n / n!

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n   ( 1 )

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a . Para calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ - 4 n n !   ( 2 )

Devemos nos lembrar de um limite especial que costuma aparecer na sequência:

lim n → ∞ ⁡ x n n ! = 0 ,     ∀ x ∈ R   ( 3 )

Comparando os limites (2) e (3), vemos que para x devemos tomar x = - 4 . Portanto, a avaliação do limite (2) é igual a:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ - 4 n n ! = 0

O limite anterior nos diz que o fatorial cresce muito mais rápido que ( - 4 ) . Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = 0

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