Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 27
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Então galerinha, vamos descobrir se essa série converge ou não?
Pra ver se uma série de somas parciais converge, precisamos calcular as primeiras somas parciais. Mas o problema é que aqui a gente não tem o termo geral e nem as somas parciais . E agora?
Bom, vamos primeiro analisar os termos conhecidos da sequência e descobrir como se comporta . Só depois, vamos avaliar sua convergência, a partir do limite.
Passo 2
Vamos descobrir uma expressão para , ok? A soma que nos foi dada é:
Disso podemos tirar que: o numerador não se altera, ou seja, é o tempo inteiro, e o denominador é composto por valores múltiplos de , não é mesmo? Podemos inclusive escrevê-la assim
Sendo assim, nossa expressão será:
Ou então:
Hmmmm essa série é meio familiar ne? Ela sembra essa outra série aqui:
Se a gente colocar o 3 em evidência uma dá na outra:
Agora vamos analisar essa série que achamos:
Essa série é chamada de série harmônica, galera! Se trata de uma série bem conhecida, assim como seu resultado. Essa é uma série divergente.
Bem, se essa série diverge, seu limite dividido por 3 também vai divergir. E esse é o nosso resultado.