Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 92
Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.
92.
Passo 1
E aí, pessoal! Como é que vai? Vamos partir para mais uma resolução? Vamos!
Nessa questão, o enunciado pede pra gente assumir que a sequência converge, então só precisamos encontrar o limite da sequência. Para começar, vamos calcular os primeiros termos da sequência:
Aparentemente, a sequência está se aproximando do número . Fica ligado no próximo passo que a gente vai verificar isso.
Passo 2
Como nós temos que assumir que a sequência converge para algum valor
nós podemos tomar esse limite em ambos os lados da relação de recursividade, já que também temos
Então, a gente fica mais ou menos com isso:
Passo 3
Por último, só precisamos resolver a equação do passo anterior:
Então podemos ter ou . Nós sabemos que é o valor correto, mas para provar isso nós precisamos notar o seguinte:
Isso já elimina a opção , ou seja, a sequência realmente converge para .