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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 104

Teoria e exemplos - Raiz n-ésima de n! :

  1. Mostre que l i m n   →   ∞ ( 2 n π ) 1 / ( 2 n ) = 1 e, portanto, usando a aproximação de Stirling (Capítulo 8, Exercício Adicional 32a), que

    2. n ! n ≈ n e para valores grandes de n .

  2. Teste a aproximação no item ( a ) para n = 40,50,60   , ⋅ ⋅ ⋅ , até onde sua calculadora permitir.

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem? Que bom! Então, vem comigo para mais uma questão!

a) O primeiro passo é mostrar que l i m n   →   ∞ ( 2 n π ) 1 / ( 2 n ) = 1 . Para fazer isso, vamos usar o logaritmo:

l i m n   →   ∞ l n ( 2 n π ) 1 / ( 2 n ) = l i m n   →   ∞ l n ( 2 n π ) 2 n

Esse limite tem uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Por isso, a gente usar a regra de L’Hôpital:

l i m n   →   ∞ l n ( 2 n π ) 1 / ( 2 n ) = l i m n   →   ∞ l n ( 2 n π ) 2 n = l i m n   →   ∞ d d n l n ( 2 n π ) d d n 2 n = l i m n   →   ∞ 2 π / 2 n π 2 = l i m n   →   ∞ 1 2 n = 0

Agora, tomando a função exponencial dos dois lados, ficamos com

l i m n   →   ∞ e l n ( 2 n π ) 1 / ( 2 n ) = l i m n   →   ∞ ( 2 n π ) 1 / ( 2 n ) = e 0 = 1

Passo 2

Agora nós temos que usar a aproximação de Stirling

n ! ≈ 2 π n ( n e ) n = ( 2 π n ) 1 / 2 ( n e ) n

Vamos tomar a raiz enésima em ambos os lados

n ! n ≈ ( 2 π n ) 1 / 2 n ( n e )

Então,

l i m n   →   ∞ n ! n ≈ l i m n   →   ∞ ( 2 π n ) 1 / 2 n ( n e ) = n e

Passo 3

b) Vamos começar com a aproximação l i m n   →   ∞ ( 2 n π ) 1 / ( 2 n ) = 1 usando n = 40,50,60 :

( 2 ⋅ 40 ⋅ π ) 1 / ( 2 ⋅ 40 ) ≈ 1,0715

( 2 ⋅ 50 ⋅ π ) 1 / ( 2 ⋅ 50 ) ≈ 1,0591

( 2 ⋅ 60 ⋅ π ) 1 / ( 2 ⋅ 60 ) ≈ 1,0507

Então, dá pra ver que a medida que n cresce, ( 2 n π ) 1 / ( 2 n ) vai se aproximando de 1 .

Já para n ! n ≈   n e , nós temos

40 ! 40 ≈ 15,769 , 40 e ≈ 14,715  

50 ! 50 ≈ 19,483 , 50 e ≈ 18,394  

60 ! 60 ≈ 23,192 , 60 e ≈ 22,073  

Nesse caso, vemos que n deve ser bem maior para que a aproximação seja válida.

Até a próxima, galera!

Resposta

Ver a discussão acima.

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