Teoria e exemplos - Raiz n-ésima de n! :
- Mostre que e, portanto, usando a aproximação de Stirling (Capítulo 8, Exercício Adicional 32a), que
- Teste a aproximação no item para até onde sua calculadora permitir.
para valores grandes de .
Passo 1
E aí, galera! Tudo bem? Que bom! Então, vem comigo para mais uma questão!
a) O primeiro passo é mostrar que . Para fazer isso, vamos usar o logaritmo:
Esse limite tem uma indeterminação do tipo . Por isso, a gente usar a regra de L’Hôpital:
Agora, tomando a função exponencial dos dois lados, ficamos com
Passo 2
Agora nós temos que usar a aproximação de Stirling
Vamos tomar a raiz enésima em ambos os lados
Então,
Passo 3
b) Vamos começar com a aproximação usando :
Então, dá pra ver que a medida que cresce, vai se aproximando de .
Já para , nós temos
Nesse caso, vemos que deve ser bem maior para que a aproximação seja válida.
Até a próxima, galera!
Resposta
Ver a discussão acima.