Quais das sequências { a_n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

a_n = (n + 3) / (n^2 + 5n + 6)

Passo 1

Oie pessoal, vamos lá para mais um exercício! Vamos relembrar que uma sequência é uma lista de números em uma ordem determinada:

a 1 ,   a 2 ,   a 3 ,   … , a n ,   …

Uma sequência a n tem limite L e escrevemos:

lim n → ∞ ⁡ a n = L

  • A sequência converge quando lim n → ∞ ⁡ a n existir;
  • Caso contrário, a sequência diverge.

Passo 2

Sendo assim, iremos calcular o limite da nossa sequência:

lim n → ∞ ⁡ n + 3 n 2 + 5 n + 6 = ∞ ∞

Como esse limite é indeterminado, iremos utilizar a regra de L’Hopital. Onde:

lim n → ∞ ⁡ f x g x = lim n → ∞ ⁡ f ' x g ' x

Então derivando o numerador e o denominador:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 5 = 1 ∞ = 0

Como o limite existe, então a sequência converge.

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

A sequência converge, com lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

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