Teoria e exemplos: Unicidade de limites: Prove que os limites das sequências são únicos. Ou seja, mostre que se L₁ e L₂ são números tais que a_n → L_1 e a_n → L_2 , então L1 = L2 .

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questão para a gente resolver. Então, sem perder tempo, vamos ao que interessa!

A questão pede para mostrar que os limites da sequência são únicos, ou seja, se a n → L 1 e a n → L 2 , então L 1 = L 2 . Para mostrar isso, vamos modificar só um pouquinho os dados e escrever

a n → L 1 e a ' n → L 2 , para poder tomar o limite. Depois, fazemos a ' n = a n . Se liga aí no próximo passo.

Passo 2

Agora, vamos calcular o limite de a ' n - a n :

l i m n → ∞ a ' n - a n = l i m n → ∞ a ' n - l i m n → ∞ a n = L 2 - L 1

Mas, se a ' n = a n , então

l i m n → ∞ a ' n - a n = 0

Logo, os limites devem ser iguais

L 2 - L 1 = 0 ⇒ L 1 = L 2

E aí, qual é a próxima questão que nós vamos resolver? Responde Aí!

Resposta

Ver a discussão acima.

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