Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 129

Teoria e exemplos: Unicidade de limites: Prove que os limites das sequências são únicos. Ou seja, mostre que se L 1 e L 2 são números tais que a n → L 1 e a n → L 2 , então L 1 = L 2 .

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questão para a gente resolver. Então, sem perder tempo, vamos ao que interessa!

A questão pede para mostrar que os limites da sequência são únicos, ou seja, se a n → L 1 e a n → L 2 , então L 1 = L 2 . Para mostrar isso, vamos modificar só um pouquinho os dados e escrever

a n → L 1 e a ' n → L 2 , para poder tomar o limite. Depois, fazemos a ' n = a n . Se liga aí no próximo passo.

Passo 2

Agora, vamos calcular o limite de a ' n - a n :

l i m n → ∞ a ' n - a n = l i m n → ∞ a ' n - l i m n → ∞ a n = L 2 - L 1

Mas, se a ' n = a n , então

l i m n → ∞ a ' n - a n = 0

Logo, os limites devem ser iguais

L 2 - L 1 = 0 ⇒ L 1 = L 2

E aí, qual é a próxima questão que nós vamos resolver? Responde Aí!

Resposta

Ver a discussão acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 ∑ k = 1 n k 2 (Sugestão: Verifique que 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = 1 6 n n + 1 2 n + 1 . Veja Seção 17.)
Calcule.underset(n - + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k
Suponha que a sequência de um termo geral a n , n natural, seja crescente (isto é, quaisquer que sejam os naturais n e m , nm ⟹ a n ≤ a m ) e que exista M real tal que a n ≤ M para todo natural n . Pr
Calcule.underset(n - + oo)(lim) (n^2 + 2)/(2 n^3 + n - 1)
Considere a sequência de termo geral a n = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 n 2 . a) Prove que a n é crescente.b) Prove que para todo natural n ≥ 1 ] 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 n 22 . c) Prove que lim n → + ∞