Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 127
Teoria e exemplos: É verdade que uma sequência de números positivos deve convergir se for limitada superiormente? Justifique sua resposta.
Passo 1
Fala, galera! Ficaram com dúvida nessa questão? Então, vem comigo para gente resolver essa!
Para começar a resolver, vamos assumir que essa sequência de números positivos é crescente. Ou seja, temos que
para qualquer valor de .
Passo 2
Agora que partimos desse ponto de vista, podemos supor que haverá um limitante superior . Logo, . Com isso, podemos buscar um limite em que e podemos afirmar que
Logo, para um , haverá uma cota menor que o limitante superior. Ou seja,
Assim, não é um limitante superior para , segue que . Como a sequência é crescente e
isto é,
Garantindo que existe e que a sequência converge para um valor se ela for limitada superiormente.
Resposta
Ver a discussão acima.