Convergência e divergência: Quais das sequências {a_n} nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

76. a_n = sen(ln n)

Passo 1

E aí, gente! Preparados para mais uma resolução bem no estilo Responde Aí? Então, bora lá!

A ideia pra resolver essa questão é ver se existe o limite da sequência quando n → ∞ . Aí, a gente consegue saber se a sequência converge ou não para algum valor.

Antes de continuar, vamos tentar definir a função s e n h   ( l n   n ) . A definição de seno hiperbólico é a seguinte

s e n h   x = e x   -   e - x 2

Então, como e l n   x = x , dá pra gente ver que

s e n h   ( l n x ) = e l n   x   -   e - l n   x 2 = e l n   x   -   1 / e l n   x 2 = x   -   1 / x 2 = x 2 - 1 2 x .

Passo 2

Agora, a gente só precisa trocar x por n pra conseguir escrever o enésimo termo da sequência

a n = s e n h   ( l n   n ) = n 2 - 1 2 n

Vamos tomar o limite quando n → ∞ :

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ n 2 - 1 2 n = l i m n → ∞ n 2 - l i m n → ∞ 1 2 n

O segundo termo tende a zero mas o primeiro tende a . Então, esse é o termo que manda e a gente fica com

l i m n → ∞ a n → ∞

e isso quer dizer que a sequência é divergente.

Resposta

Divergente.

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