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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Questões para guiar sua revisão - Ex. 29

O que é uma série binomial? Em que intervalo essa série converge? Como ela é utilizada?

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Definição: Seja um número qualquer k e x < 1 , então:

1 + x k = 1 + k x + k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + k ( k - 1 ) ( k - 2 ) 3 ! x 3 + … = ∑ n = 0 ∞ k n x n

é uma série binomial, onde:

k n = k k - 1 k - 2 … ( k - n + 1 ) n !

No intervalo aberto ( - 1,1 ) a série binomial converge.

Podemos utilizar a série binomial para expandir uma função como uma série de potência. Por exemplo, seja a função 1 + x 1 2 , ela pode ser reescrita como:

1 + x k = 1 + 1 2 x + 1 2 - 1 2 2 ! x 2 + 1 2 - 1 2 - 3 2 3 ! x 3 + … = 1 + x 2 - x 2 8 + x 3 16 - 5 x 4 128 + …

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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