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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 7

Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.

7. f x = sen ⁡ x ,   a = π / 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

Temos f x = sen ⁡ x e devemos construir os três primeiros polinômios de Taylor centrados em a = π 4 . Primeiro, vamos encontrar as três primeiras derivadas da seguinte forma:

f x = sen ⁡ x → f π 4 = sin ⁡ π 4 = 2 2

f ' x = cos ⁡ x → f ' π 4 = cos ⁡ π 4 = 2 2

f ' ' x = - sen ⁡ x → f ' ' π 4 = - sin ⁡ π 4 = - 2 2

f ' ' ' x = - cos ⁡ x → f ' ' ' π 4 = - cos ⁡ π 4 = - 2 2

Passo 2

Podemos agora construir os primeiros polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 da seguinte maneira:

Para o polinômio de ordem 0, obtemos que

P 0 x = f π 4 = 2 2

Para o polinômio de ordem 1

P 1 x = f π 4 + f ' π 4 1 ! x - π 4 1

Desenvolvendo um pouco mais os termos,

P 1 x = 2 2 + 2 2 1 x - π 4 1 = 2 2 + 2 2 x - π 4

Passo 3

Já para o polinômio de ordem 2

P 2 x = f π 4 + f ' π 4 1 ! x - π 4 1 + f ' ' π 4 2 ! x - π 4 2

Substituindo os termos

P 2 x = 2 2 + 2 2 x - π 4 - 2 4 x - π 4 2

E para o polinômio de ordem 3

P 3 x = f π 4 + f ' π 4 1 ! x - π 4 1 + f ' ' π 4 2 ! x - π 4 2 + f ' ' ' π 4 3 ! x - π 4 3

E com isso,

P 3 x = 2 2 + 2 2 x - π 4 - 2 4 x - π 4 2 - 2 12 x - π 4 3

Resposta

P 0 x = 2 2

P 1 x = 2 2 + 2 2 x - π 4

P 2 x = 2 2 + 2 2 x - π 4 - 2 4 x - π 4 2

P 3 x = 2 2 + 2 2 x - π 4 - 2 4 x - π 4 2 - 2 12 x - π 4 3

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