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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 34

Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a

34. f x = 1 - x + x 2 e x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos colocar e x no polinômio de Maclaurin

f x = 1 - x + x 2 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + …

Em seguida, distribua o primeiro polinômio para cada termo de e x

1 - x + x 2 + 1 - x + x 2 x + 1 - x + x 2 x 2 2 + 1 - x + x 2 x 3 6 + …  

Com isso, nós temos que

1 - x + x 2 + x - x 2 + x 3 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 3 6 - x 4 6 + x 5 6 + …

Agora vamos coletar os termos semelhantes para os três primeiros termos que não são zero:

1 + x 2 2 - 2 x 3 3

Passo 2

Perceba que você não precisa ir além de nenhum termo para o polinômio e x , pois o próximo termo seria x 4 , o que resultaria em f ( x ) sendo avaliado quatro termos, não três. Para encontrar os valores para os quais a série de Maclaurin para f(x) converge, nós dividimos f ( x ) em duas funções ( 1 + x + x 2 ) e e x . Como ambas as séries de Maclaurin convergem absolutamente para todo x real, e a série de Maclaurin é apenas o produto dessas duas séries, f ( x ) deve convergir para todos os números reais.

Resposta

1 + x 2 2 - 2 x 3 3 ,   c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e   p a r a   t o d o s   o s   n ú m e r o s   r e a i s

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Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .] f x = x, a = π / 2
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Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .]20. f x = x - 2 , a = 1