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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 19

Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.

19. cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para esse caso, nós temos que o cosseno hiperbólico é igual a

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

E nós já sabemos a expansão das séries de Maclaurin para e x

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

E a expansão para e - x é igual a

e - x = ∑ n = 0 ∞ - x n n ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! x n = 1 + - x + - x 2 2 ! + - x 3 3 ! + …

Passo 2

Portanto, a série de Maclaurin para o cosh ⁡ x (os primeiros cinco termos) é igual a

cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! + ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! x n 2

Expandindo os termos,

cosh ⁡ x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … + 1 + - x + - x 2 2 ! + - x 3 3 ! + … 2

Com isso, nós temos que

cosh ⁡ x = 2 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + x 8 8 ! + … 2 = ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n !

Na notação de soma, observe que, como as derivadas de ordem ímpar se anulam, apenas as derivadas de ordem par (aquelas com potências pares permanecem). é por isso que mudamos o expoente de n para 2 n .

Resposta

f x = cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n ! = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + x 8 8 ! + …

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