O que é uma série infinita? O que significa a convergência dessa série? E a divergência? Dê exemplos.

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos lembrar primeiro da definição para uma sequência infinita e o que significa para uma sequência infinita convergir:

Uma sequência infinita de números é uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos. Por exemplo, uma sequência denotada por , onde designa o enésimo termo para qualquer , são elementos de um conjunto e cada elemento é chamado de termo. Por definição, uma sequência infinita de números converge se e somente se existe.

Observe que a convergência de uma sequência é diferente da convergência de uma série (a soma de uma sequência).

Uma série infinita é a soma dos termos dessa sequência infinita. Geralmente representamos isso por notação de somatório:

onde n=1 é o índice inicial e n é a variável do índice. A variável de índice n conta desde o índice inicial n=1 até seu limite superior, que neste caso é infinito. Esta notação significa que estamos encontrando a soma de todos os termos de até .