Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 31
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Passo 1
Vamos lá pessoal, essa questão temos que utilizar todos os conhecimentos adquiridos até aqui para responder qual a situação da série acima. Vamos recordar que uma série absolutamente convergente também é convergente. E por isso nós testaremos primeiro isso.Se ela não for absolutamente convergente teremos que utilizar algum outro método para identificar se é convergente ou não.
A série que temos que testar pra saber se é absolutamente convergente é a série do exercício em módulo:
Assim todos os termos passam a ter apenas o valor positivo. De modo que podemos utilizar a seguinte série:
Passo 2
O teste da convergência absoluta da série do exercício será confirmado se a série:
For convergente.
Repare que eu consigo criar uma série parecida com essa e que é fácil de descobrir a convergência, além disso, a série é positiva para todos os termos. Por isso vamos utilizar o teste da comparação. Vamos relembrar o que diz o teste da comparação?
Eu posso descobrir a convergência de uma série qualquer, comparando-a com uma série de convergência conhecida (Se ambas forem positivas). Se a série desconhecida for sempre menor ou igual uma série convergente, ela também será convergente. Se for maior ou igual uma série divergente, então também será divergente.
Para comparação vamos utilizar a série:
Que é uma p-série de e por isso diverge.
Preste atenção nesse pulo do gato:
Guarde bem essa informação: Toda série que tiver a cara
seguirá a seguinte regra:
Convergente se . Divergente se .
E como comparamos essa série com a nossa série?
Ora, é simples. Basta vermos qual será maior ou menor ao longo do domínio.Temos que para qualquer valor de .
Ou seja:
E, portanto, ...
De modo que sabemos que diverge.
Então
Não pode ser absolutamente convergente. Mas ainda pode ser convergente.
Passo 3
Podemos perceber que essa série é uma série alternada. Pois no numerador temos o termo:
Que ficará alterando o sinal da série para cada valor de .
Isso nos da uma dica de que é uma situação interessante para usarmos o teste das séries alternadas.E o que diz o teste das séries alternadas?
Diz que, que considerarmos uma série associada a série alternada que queremos investigar. De modo que considera apenas os valores absolutos dos termos. A série será convergente se cumprir duas condições:
- . Ou seja, a série tem que ter seus valores absolutos decrescente.
Vamos testar a primeira condição:
Nosso é:
Pois se estamos interessados apenas nos valores absolutos, podemos ignorar os elementos que causam apenas mudança de sinal.
E o :
Podemos perceber que para qualquer . O valor de é crescente. Veja:
E assim segue. Ou seja, podemos afirmar com segurança que:
E, portanto:
Pois, quanto maior o denominador. Menor o valor.
Ou seja,
Passo 4
Precisamos agora testar a segunda condição.
Calcular:
Situação em que temos um numerador constante, e um denominado indo em direção ao infinito. Sempre que tivermos esse caso poderemos dizer que o limite é .
Ou seja:
Assim sendo, a segunda condição também confere.
Pelo teste da série alternada temos que é uma série convergente.
Então, nossa série não converge absolutamente, mas converge. Logo, ela é condicionalmente convergente.