Mostre que nem o teste da razão nem o teste da raiz fornecem informações a respeito da convergência de

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da nossa sequência, dado por:

E o seu termo consecutivo,

Vamos aplicar o teste da razão para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

Simplificando os termos, e pelas propriedades de limites, obtemos:

Aplicando a regra de L’Hospital, temos:

De acordo com o teste da razão, se o limite é maior ou igual a 1 a série diverge.

Vamos aplicar o teste da raiz para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

Quando n tende ao infinito tende a zero, logo tende para 1.

De acordo com o teste da raiz, se o limite é maior ou igual a 1 a série diverge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!