Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 36
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
36.
Passo 1
Como temos uma razão na sequência da nossa serie, vamos tentar usar o teste da razão:
Se , a série é divergente, se , é absolutamente convergente, e se o teste não diz nada pra gente.
Na nossa série ele fica:
Passo 2
Bom, se a gente olhar as funções seno que estão no denominador, podemos ver que multiplica , fazendo com que a função seno alterne entre sinal negativo e positivo do mesmo resultado:
Mas como temos o módulo, todos esses valores são positivos, ou seja, todos vão ser a mesma coisa:
Então tirando do módulo, ficamos com:
Simplificando:
Passo 3
Se tentarmos aplicar o limite agora, vai acontecer uma indeterminação, vamos colocar em evidência para a gente contornar isso:
E aí simplificamos:
Passo 4
Agora sim podemos aplicar o limite, o denominador tende para zero, e o numerador para 1:
E como , a série é absolutamente convergente.