Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 35
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Passo 1
E aí, galera? Tudo bem?
Bom, aqui a questão quer saber se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente, ou divergente. O enunciado deixa livre pra gente escolher o método dentre todos os que foram apresentados nesse capítulo 11. Nossa série é:
Quando temos uma exponencial em função de pode ser um indicativo para usarmos o Teste da Raiz, que é basicamente o cálculo do seguinte limite:
- Se série absolutamente convergente (e, portanto, convergente)
- Se ou série é divergente.
- Se o Teste da Raiz é inconclusivo.
Vamos em frente!
Passo 2
Na nossa série ele fica:
Podemos tirar do módulo porque tudo dentro é positivo, até a função , porque começa em 2:
Cortando a raiz com a potência:
Percebe que tanto nosso numerador quanto nosso denominador vão para infinito com ? Vamos ter uma indeterminação do tipo . Para sair dela vamos usar a Regra de l’Hopital (vale lembrar que ela só serve para dois tipos de indeterminação e ).
Passo 3
Para resolver o limite, vamos usar a regra de L’Hôpital. O problema é que não podemos aplicar diretamente, porque não é contínuo, vamos fazer uma função que seja idêntica ao nosso problema:
Aplicamos o limite nela
E usamos L’Hôpital:
Então:
E como tende para infinito, podemos dizer que a série é divergente