Prove que tanto a sequência quanto a série convergem ou divergem, simultaneamente.
Passo 1
Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?
Queremos provar que a sequência e a série ambas convergem ou divergem juntas.
Seja a soma parcial da série , então temos que:
Primeiramente, vamos considerar que a sequência converge e o limite é L, então temos:
Sendo assim, temos que:
Logo, a série é convergente pois a sequência converge.
Agora, vamos considerar que a sequência diverge e o limite não existe.
Isso implica que a é divergente, portanto, a série também é divergente.
Como queríamos demonstrar.
Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!
Resposta
Veja a demonstração acima.