Prove que tanto a sequência quanto a série convergem ou divergem, simultaneamente.

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Queremos provar que a sequência e a série ambas convergem ou divergem juntas.

Seja a soma parcial da série , então temos que:

Primeiramente, vamos considerar que a sequência converge e o limite é L, então temos:

Sendo assim, temos que:

Logo, a série é convergente pois a sequência converge.

Agora, vamos considerar que a sequência diverge e o limite não existe.

Isso implica que a é divergente, portanto, a série também é divergente.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!