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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 71

Use um recurso gráfico para determinar o número de vezes que a curva y = x 3 intersecta a curva y = x 2 - 1 . Então, aplique o Método de Newton para aproximar as coordenadas x de todas as intersecções.

Passo 1

Para as curvas se interceptarem temos que igualar as duas curvas:

x 3 = x 2 - 1 → x 3 - x 2 + 1 = 0

Pronto, temos que f x é:

f x = x 3 - x 2 + 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 3 - x 2 + 1 ' = 3 ⋅ x 3 - 1 - 1 2 + 0 = 3 x 2 - 1 2

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 3 - x n 2 + 1 3 x n 2 - 1 2

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = - 1 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 3 - x 1 2 + 1 3 x 1 2 - 1 2 = - 1 - - 1 3 - - 1 2 + 1 3 ⋅ - 1 2 - 1 2 = - 1,2

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 3 - x 2 2 + 1 3 x 2 2 - 1 2 = - 1,2 - - 1,2 3 - - 1,2 2 + 1 3 ⋅ - 1,2 2 - 1 2 ≈ - 1 , 1664921466

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 3 - x 3 2 + 1 3 x 3 2 - 1 2 =

= - 1,1664921466 - - 1,1664921466 3 - - 1,1664921466 2 + 1 3 ⋅ - 1,1664921466 2 - 1 2 ≈ - 1,16 53742662

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 3 - x 4 2 + 1 3 x 4 2 - 1 2 =

= - 1,1653742662 - - 1,1653742662 3 - - 1,1653742662 2 + 1 3 ⋅ - 1,1653742662 2 - 1 2 ≈ - 1,16537 30431

Agora com x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 3 - x 5 2 + 1 3 x 5 2 - 1 2 =

= - 1,1653730431 - - 1,1653730431 3 - - 1,1653730431 2 + 1 3 ⋅ - 1,1653730431 2 - 1 2 ≈ - 1,1653730431

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é - 1,1653730431 .

Resposta

A raiz é - 1,1653730431 .

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