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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 31

Achar o comprimento da circunferência

{[[x = a cos t],[y = a s e n t]]) , t ϵ [ 0,2 pi ]

Passo 1

O comprimento da circunferência é dado por:

s = int_(t_0)^(t_1) sqrt([x^' (t)]^2 + [y^' (t)]^2) d t

Temos que as derivadas de x e y são:

x^' = - a s e n t ;

y^' = a cos t .

Passo 2

Substituindo as derivadas calculadas na equação de comprimento de circunferência, temos:

s = int_0^(2 pi) sqrt([- a s e n t]^2 + [a cos t]^2) d t = int_0^(2 pi) sqrt(a^2 s e n^2 t + a^2 cos^2 t) d t

Como:

s e n^2 t + cos^2 t = 1

Temos:

s = int_0^(2 pi) sqrt(a^2 s e n^2 t + a^2 cos^2 t) d t = int_0^(2 pi) sqrt(a^2) d t = a int_0^(2 pi) d t

Passo 3

Integrando:

s = a int_0^(2 pi) d t = a * t

Aplicando os limites:

s = a * t = a * (2 pi - 0) = 2 pi a

Resposta

2 pi a u . c

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