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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 6f

Simplifique.

((1)/(x^2) - (1)/(9))/(x - 3)

Passo 1

Vamos lá, para simplificar essa expressão vamos tentar manipular um pouco ela, vamos tirar o mínimo do numerador:

(1)/(x^2) - (1)/(9) = (9 - x^2)/(9 x^2)

Pronto, vamos substituir então:

((1)/(x^2) - (1)/(9))/(x - 3) = ((9 - x^2)/(9 x^2))/(x - 3)

Vamos agora deixar em uma parcela só, com uma expressão só no numerador e outra no denominador, fazemos isso repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do denominador:

((1)/(x^2) - (1)/(9))/(x - 3) = ((9 - x^2)/(9 x^2))/(x - 3) = (9 - x^2)/(9 x^2) * (1)/((x - 3)) = (9 - x^2)/(9 x^2 (x - 3))

Passo 2

Agora vamos usar produto notável no numerador, dá pra ver que ele é da forma:

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)

Vamos lá então:

9 - x^2 = 3^2 - x^2 = (3 + x) (3 - x)

Substituindo ficamos com:

(9 - x^2)/(9 x^2 (x - 3)) = ((3 + x) (3 - x))/(9 x^2 (x - 3))

Passo 3

Pronto, está quase lá, podemos reparar que quase temos uma parcela no numerador (3 - x) igual ao do denominador (x - 3) , apenas está com sinal invertido, vamos então multiplicar e dividir a expressão por - 1 , assim dá pra eliminar essa parcela fácil:

((3 + x) (3 - x))/(9 x^2 (x - 3)) = ((3 + x) (3 - x))/(9 x^2 (x - 3)) * ((- 1))/((- 1)) = ((3 + x) (3 - x) (- 1))/(9 x^2 (- x + 3)) = - (3 + x)/(9 x^2)

Pronto, está simplificado!

Resposta

((1)/(x^2) - (1)/(9))/(x - 3) = - (3 + x)/(9 x^2)

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