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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.Revisão - Ex. 60

Simplifique a equação dada por uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.

4 x 2 + 3 x y + y 2 - 6 x + 12 y = 0

Passo 1

Chegamos em um ponto das cônicas que elas além de não estarem fora do centro, elas estão “tortas”, ou seja, rotacionaram em torno do centro. A primeira coisa que devemos saber aqui é qual o formato dessa cônica. Vamos para uma regrinha bem básica. As cônicas em rotação vão obedecer a esse formato de equação (B diferente de 0).

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Em que:

c o t g 2 a = A - C B

Sendo a o ângulo de rotação.

Após rotação, a nossa função assume parâmetros x‘ e y’. E temos mais um conjunto de relações.

x = x ' c o s a - y ' s e n a

y = x ' s e n a + y ' c o s a

Sabendo disso, bora ANIQUILAR essa questão!

Passo 2

Antecipando pra vocês, essas questões exigem uma álgebra um pouco mais apurada que o normal, por isso, vamos com calma.

Para essa questão, temos que:

c o t g 2 a = A - C B

c o t g 2 a = 1

Logo,

cos ⁡ a = 1 2 2 + ( 2 )

s e n ( a ) = 1 2 2 - ( 2 )

Passo 3

Vamos para a nossa outra transformação.

x = x ` 1 2 2 + ( 2 ) - y ` 1 2 2 - ( 2 )

y = x ` 1 2 2 - ( 2 ) + y ` 1 2 2 + ( 2 )

E agora substituímos na nossa equação principal para acharmos a nossa equação com rotação.

3 x 2 - 3 x y - y 2 - 6 y = 0

13 x ' 2 + 3 y ' 2 - 12 x ' y ' - 7 x ' 2 - y ` 2 = 0  

Gerando esse esboço:

Resposta

13 x ' 2 + 3 y ' 2 - 12 x ' y ' - 7 x ' 2 - y ` 2 = 0  

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