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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 3n

Simplifique (f (x + h) - f ( x ))/(h) ( h != 0 ) sendo f ( x ) igual a

n ) f (x) = x^3 + x^2 - x

Passo 1

Tudo bem pessoal? Para resolver essa questão basta lembrar que f (A) é o valor que a função f assume quando x = A . Certo?

Então para calcular o que se pede, vamos calcular f ( x + h ) e f ( x ) e depois resolver:

(f (x + h) - f (x))/(h)

Certo? Vamos lá?

Passo 2

Primeiro f ( x ) :

f (x) = x^3 + x^2 - x

Aqui é isso mesmo, fica a própria função! Vamos pro próximo passo?

Passo 3

Agora f ( x + h ) :

f (x + h) = (x + h)^3 + (x + h)^2 - ( x + h )

Primeiro vamos calcular o termo (x + h)^3 :

(x + h)^3 = ( x^2 + 2 x h + h^2 ) (x + h) = x^3 + x^2 h + 2 x^2 h + 2 x h^2 + x h^2 + h^3

Aqui preferi resolver primeiro o produto notável (x + h)^2 para depois multiplicar o resultado por ( x + h ) . Beleza?

Precisamos agora agrupar os termos semelhantes :

(x + h)^3 = x^3 + 3 x^2 h + 3 h^2 x + h^3 + 2 x + 2 h

Passo 4

Agora vamos calcular o termo (x + h)^2 :

(x + h)^2 = x^2 + 2 x h + h^2

E por fim o termo - (x + h) :

- (x + h) = - 2 x - 2 h

Agora juntar os termos que calculamos no passo 3 e nesse passo 4 :

f (x + h) = (x + h)^3 + (x + h)^2 - (x + h) = x^3 + 3 x^2 h + 3 h^2 x + h^3 + x^2 + 2 x h + h^2 - x - h

Passo 5

Agora vamos juntar os resultados dos passos 2 , 3 e 4 e calcular (f (x + h) - f (x))/(h) :

(f (x + h) - f (x))/(h) = (x^3 + 3 x^2 h + 3 h^2 x + h^3 + x^2 + 2 x h + h^2 - x - h - ( x^3 + x^2 - x ))/(h)

Simplificando a expressão do lado direito temos:

(f (x + h) - f (x))/(h) = (3 x^2 h)/(h) + (3 h^2 x)/(h) + (h^3)/(h) + (2 x h)/(h) + (h^2)/(h) - (h)/(h) = 3 x^2 + 3 x h + h^2 + 2 x + h - 1

Feito? É essa a resposta! =D

Beleza até aqui? Vamos pra próxima questão?!

Resposta

3 x^2 + 3 x h + h^2 + 2 x + h - 1

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