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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 99

Se y = A sin ( ln ( x ) ) + B c o s ( ln ( x ) ) , sendo A e B constantes, mostre que:

x^2 y^(' ') + x y^' + y = 0

Passo 1

Primeiro, vamos encontrar y ' e y ' ' .

y^' = A (cos ( ln x ))/(x) - B (sin ( ln ( x ) ))/(x)

y^(' ') = A ([- sin ( ln ( x ) ) - c o s ( l n ( x ) )])/(x^2) - B ([- sin ( ln ( x ) ) + c o s ( ln ( x ) )])/(x^2)

Passo 2

Veja que :

y^' = A (cos ( ln x ))/(x) - B (sin ( ln ( x ) ))/(x) = (1)/(x) (A cos ( ln ( x )) - B sin ( ln ( x ) ) )

y^(' ') = A ([- sin ln ( x ) - c o s l n ( x )])/(x^2) - B ([- sin ln ( x ) + c o s ln ( x )])/(x^2) = (1)/(x^2) . [- A . sin ln (x) - A cos ln (x) + B sin ln (x) - B cos ln ( x )]

Agora, vamos substituir os valores encontrado na expressão dada:

x^2 y^(' ') + x y^' + y = 0

- A . sin ln (x) - A cos ln (x) + B sin ln (x) - B cos ln (x) + A cos ln (x) - B sin ln (x) + A sin ln (x) + B cos ln (x) = 0

Resposta

Questão de demonstração, encontramos que a sentença realmente é verdadeira

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