Se y = A sen(ln(x)) + B cos(ln(x)) , sendo A e B constantes, mostre que:

x^2 \* y'' + x \* y' + y = 0

Passo 1

Primeiro, vamos encontrar y ' e y ' ' .

y ' = A   cos ⁡ ( ln ⁡ x ) x - B sin ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) x

y ' ' = A   - sin ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) - c o s ⁡   ( l n ⁡ ( x ) ) x 2 - B - sin ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) + c o s ⁡   ( ln ⁡ ( x ) ) x 2  

Passo 2

Veja que :

y ' = A   cos ⁡ ( ln ⁡ x ) x - B sin ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) x = 1 x A cos ⁡ ( ln ⁡ ( x ) - B sin ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) )

                                              y ' ' =   A   - sin ⁡ ln ⁡ ( x ) - c o s ⁡   l n ⁡ ( x ) x 2 - B - sin ⁡ ln ⁡ ( x ) + c o s ⁡   ln ⁡ ( x ) x 2 =   1 x 2 .   - A . sin ⁡ ln ⁡ x - A cos ⁡ ln ⁡ x + B sin ⁡ ln ⁡ x - B cos ⁡ ln ⁡ ( x )  

Agora, vamos substituir os valores encontrado na expressão dada:

x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

- A . sin ⁡ ln ⁡ x - A cos ⁡ ln ⁡ x + B sin ⁡ ln ⁡ x - B cos ⁡ ln ⁡ x + A cos ⁡ ln ⁡ x - B sin ⁡ ln ⁡ x + A sin ⁡ ln ⁡ x + B cos ⁡ ln ⁡ x = 0

Resposta

Questão de demonstração, encontramos que a sentença realmente é verdadeira

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