Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 38
Se é uma singularidade regular, use (12) em (2) para mostrar que (13) é a equação indicial obtida pelo método de Frobenius.
Passo 1
Vamos lá, em (12) temos:
De onde assumindo que seja uma singularidade regular, temos:
Em (2) temos:
E por fim, em (13), temos:
Agora vamos lá provar o que o problema quer
Passo 2
Temos
Multiplicando tudo por , temos:
Agora vamos substituir e :
Usando , temos:
Eita laiá que monstrinho, mas vamo que vamo
Passo 3
Temos
O menor coeficiente se dá quando , e aí temos
De onde temos a equação indicial
Então meu povo, ta provadíssimoooo
Resposta
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Em cada um dos problemas de 1 a 4, determine ϕ ' ' x 0 ,ϕ ' ' ' x 0 e ϕ 4 x 0 para o ponto dado x 0 , se y = ϕ ( x 0 ) é uma solução do problema de valor inicial dado. y ' ' + x y ' + y = 0 , y 0 = 1
29. Dado um polinômio f de grau n, é possível expressar f como uma combinação linear de P0, P1, P2, ..., Pn: f x =∑ k = 0 n a k P k ( x ) Usando o resultado do Problema 28, mostre que a k = 2 k + 1 2
28. Mostre que a equação de Legendre também pode ser escrita como [ ( 1–x 2 ) y ' ] '=–α ( α+1 ) y Segue, então, que 1 - x 2 P n ' x ' =- n n + 1 P n x E 1 - x 2 P m ' x ' =- m m + 1 P m x Multiplican
Considere a equação de Bessel de ordem v , x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - v 2 y = 0 ,x0 , em que v é a real e positivo.a) Mostre que x = 0 é um ponto singular e que as raízes da equação indicial são v e -
Mostramos, nesta seção, que uma solução da equação de Bessel de ordem zero L y = x 2 y ' ' + x y ' + x 2 y = 0 é J 0 , em que J 0 x é dada pela Eq. (7) com a 0 = 1 . De acordo com o Teorema 5.6.1, uma