Enunciado

Se x = 0 é uma singularidade regular, use (12) em (2) para mostrar que (13) é a equação indicial obtida pelo método de Frobenius.

Passo 1

Vamos lá, em (12) temos:

x P x = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + …

x 2 Q x = q 0 + q 1 x + q 2 x 2 + …

De onde assumindo que x = 0 seja uma singularidade regular, temos:

x P x = ∑ n = 0 ∞ p n x n     ( I )

x 2 Q x = ∑ n = 0 ∞ q n x n     ( I I )

Em (2) temos:

y ' ' + P x y ' + Q x y = 0

E por fim, em (13), temos:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

Agora vamos lá provar o que o problema quer

Passo 2

Temos

y ' ' + P x y ' + Q x y = 0

Multiplicando tudo por x ² , temos:

x ² y ' ' + x . x P x y ' + x ² Q x y = 0

Agora vamos substituir ( I ) e ( I I ) :

x 2 y ' ' + x .   ∑ n = 0 ∞ p n x n y ' + ∑ n = 0 ∞ q n x n y = 0

Usando ∑ n = 0 ∞ c n x n + r , temos:

∑ n = 0 ∞ n + r n + r - 1 c n x n + r + ∑ n = 0 ∞ p n x n ∑ n = 0 ∞ n + r c n x n + r + ∑ n = 0 ∞ q n x n ∑ n = 0 ∞ c n x n + r = 0

Eita laiá que monstrinho, mas vamo que vamo

Passo 3

Temos

∑ n = 0 ∞ n + r n + r - 1 c n x n + r + ∑ n = 0 ∞ p n x n ∑ n = 0 ∞ n + r c n x n + r + ∑ n = 0 ∞ q n x n ∑ n = 0 ∞ c n x n + r = 0

O menor coeficiente se dá quando n = 0 , e aí temos

r r - 1 c 0 + p 0 r c 0 + q 0 c 0 = r r - 1 + p 0 r + q 0 c 0

De onde temos a equação indicial

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

Então meu povo, ta provadíssimoooo

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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