29. Dado um polinômio f de grau n, é possível expressar f como uma combinação linear de P0, P1, P2, ..., Pn:

Usando o resultado do Problema 28, mostre que

Vimos no exercício anterior que esse tipo de cálculo

É um produto interno logo ele dará zero se essas funções forem ortogonais entre si. Beleza? Vamos fazer um truque aqui para poder resolver esse problema, vamos multiplicar os dois lados da equação problema por e integrar

Esse produto apenas sera diferente de zero se . E como nos informa o enunciado anterior, se o produto não for nulo, teremos o seguinte resultado

Logo esse somatório

Terá infinitos termos nulos e apenas um único diferente de zero, no caso de , assim podemos escrever o seguinte

Se quiséssemos ser um pouco mais rigorosos, ou dar uma resposta um pouco mais rebuscada poderíamos escrever

Esse é o símbolo de delta de kronecker, que funciona assim: 0 para todo valor , 1 se . E com isso nosso somatório fica explicito que somaria infinitos zeros com apenas 1 termos não nulo. O professor pira de prazer ao ver uma resposta assim. #FicaADica!!! Voltando a nossa solução, com isso nossa igualdade fica :

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )