Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.

7.

b) Vamos começar usando uma solução de série de polinômios:

Com derivadas:

Substituindo elas na equação diferencial:

Resolvendo os produtos entre as séries e os termos de fora:

Como algumas séries dependem de e outras de , vamos agrupá-las:

Multiplicando tudo por , porque não podemos ter termos negativos nos expoentes dos polinômios:

Bom, precisamos escrever tudo em termos de uma série só, mas como os expoentes dos polinômios diferem, vamos deslocar as duas séries para , ao fazermos isso, como a primeira série não tem o primeiro termo, não acontece nada, mas na segunda, que tem, vamos precisar escrever ele por fora:

Supondo que , a única maneira do termo de fora satisfazer a igualdade é para ou quando , mas como queremos para todo e não somente para um ponto, então isso só é possível se:

Para qualquer que seja o valor dos termos do polinômio, essa é nossa equação indicial. As raízes então serão:

A nossa relação de recorrência vai ser:

Substituindo nossa raiz :

Escrevendo em termos de :

Essa será nossa relação de recorrência.

c) Substituindo e , omitindo , a nossa solução que supomos antes é:

Como nossa séria agora começa em , por conta de precisarmos ter deslocado o índice uma vez. A gente ainda precisa considerar o termo quando , já que supomos uma solução partindo de . Por isso somamos 1 por fora da série.