Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.

8.

b) Para encontrarmos a equação indicial, suas raízes e a equação de recorrência, precisamos usar uma solução de série polinomial:

E suas derivadas:

Na equação diferencial dada pela questão:

Resolvendo os produtos de fora das séries com elas:

Juntando os termos que dependem só de :

Agora precisamos deixar tudo em termos de , mas para isso, precisaremos deslocar os índices das séries, como a segunda série já começa em , por conta do expoente de , ao deslocarmos o índice precisamos apenas ajustar para . Mas para a primeira série, se deslocarmos o índice, precisaremos somar os termos referentes a e por fora. Assim:

Como precisamos que cada termo satisfaça a equação, ou seja, seja igual a zero para todo , isso só é possível se os coeficientes serem iguais a zero, supondo , então precisamos que:

Essa é nossa equação indicial. As raízes serão e

A relação de recorrência pode ser tirada do termo que envolve a série, e pelo mesmo argumento de antes, para todo de cada termo do polinômio, a seguinte equação deve ser satisfeita:

Isolamos :

Essa é a nossa relação, mas como precisamos escrever em termos das raízes, vamos primeiro substituir :

Como nossa série começa em , isso significa que , e por consequência, todos os outros termos que dependem de , ou seja, os termos ímpares, serão . Para que a gente não faça a série correr somente os termos pares, chamamos . E agora pode correr todos os números naturais, isso faz com que nossa relação de recorrência fique:

Escrevendo em termos de , fica o seguinte:

Repare que na primeira relação que escrevemos, o sempre irá aparecer multiplicando, por isso o , além disso, a relação alterna os sinais conforme a gente substitui , a única coisa que não tem uma forma de se escrever são os termos do meio do denominador, que se transformam em produtos de valores que seguem um padrão conforme cresce. Então a gente coloca os números mesmo e as reticencias.

Para a segunda raiz , a relação de recorrência fica:

A única diferença aqui é o sinal entre essa relação e à anterior para a raiz . Substituindo mais uma vez, nossa relação fica:

c) Como as raízes são diferentes por um valor não inteiro, precisamos expressar as duas soluções possíveis. Na primeira, usaremos a maior raiz . Usando a solução que supomos no início do Passo 2:

E substituindo e :

Um termo ficou de fora, porque nossa série começava em e ao longo da questão precisamos deslocar o índice para e depois substituir por . Quando , , então agora nossa série começa em , mas e o termo Ele é justamente o termo a mais do lado de fora.

Com a raiz , nossa solução é:

E de novo a gente precisou expressar o termo de fora, para .