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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 72

Uma tenda deve ter a forma de um cone. Ache a razão entre as medidas do raio e da altura da tenda com um dado volume que requer o mínimo de material.

Passo 1

Vamos começar lembrando que um cone de raio r e altura h tem geratriz r 2 + h 2 e sabemos também que a área lateral de um cone é dada por π r g em que g é a geratriz. Logo, a área lateral do nosso cone será A = π r r 2 + h 2 .

Sabemos que o volume será dado por V = π r 2 h 3       →         r 2 = 3 V π h . Então vamos substituir essa expressão em A .

A = π r r 2 + h 2 = π 3 V π h 3 V π h + h 2 = π 3 V π h 2 + 3 V π h h 2 = π 3 V π 2 h - 2 + 3 V π h

A h = π 3 V π 2 h - 2 + 3 V π h

Passo 2

Agora devemos derivar essa função e igualar a zero para descobrir o ponto de mínimo.

A ' h = π 3 V π 2 h - 2 + 3 V π h ' 2 3 V π 2 h - 2 + 3 V π h = π - 2 3 V π 2 h - 3 + 3 V π 2 3 V π 2 h - 2 + 3 V π h

= π - 2 3 V π 2 h - 3 + 3 V π 2 3 V π 2 h - 2 + 3 V π h = 0     →         - 2 3 V π 2 h - 3 + 3 V π = 0

3 V π = 2 3 V π 2 h - 3   →     3 V π = 2 9 V 2 π 2 h - 3   →     h 3 = 6 V π       →         h = 6 V π 3

Perceba que para h > 6 V π 3 , temos A ' h > 0 e para   0 < h < 6 V π 3 , temos A ' h < 0 isso indica justamente o nosso ponto de mínimo absoluto.

Passo 3

Para h = 6 V π 3 , temos r 2 = 3 V π h     →       r = 3 V π h e a razão pedida será:

r h = 3 V π h h = 3 V π h ⋅ h 2 = 3 V π h 3 = 3 V π 6 V π 3 3 = 3 V π 6 V π = 3 V 6 V = 1 2 = 1 2 = 2 2

r h = 2 2

A tenda requer menos material se a razão entre o raio e a altura for r h = 2 2 .

Resposta

r h = 2 2

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