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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 17

Verifique a aproximação linear em 0,0 .

2 x + 3 4 y + 1 ≈ 3 + 2 x - 12 y

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão também não tem mistério.

Vamos chamar o lado esquerdo da nossa expressão de f x , y , ou seja,

f x , y = 2 x + 3 4 y + 1

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas em 0,0 , pois aí já saberemos se a função é diferenciável e se existe a possibilidade de uma aproximação linear.

Para a linearização devemos utilizar a seguinte formula:

L x , y = f a , b + f x a , b x - a + f y a , b y - b

Em que a , b é o ponto dado.

Então temos o nosso roteiro, vamos para a resolução.

Passo 2

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

f x , y = 2 x + 3 4 y + 1

Veja que iremos precisar da regra do quociente aqui em f y :

f g ' = f ' g - f g ' g 2

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 2 x + 3 4 y + 1 = 2 4 y + 1 →       N o   p o n t o   0,0 ∂ f ∂ x 0,0 = 2

Aqui a gente usa a regra do quociente:

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 2 x + 3 4 y + 1 = - 4 ∙ 2 x + 3 4 y + 1 2 →       N o   p o n t o   0,0 ∂ f ∂ y 0,0 = - 12

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse 0,0 . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para y ≠ - 1 / 4 . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto 0,0 .

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto 0,0 , basta fazer:

L x , y = f a , b + f x a , b x - a + f y a , b y - b

Veja que para a gente a , b = 0,0 :

L x , y = f 0,0 ⏟ 3 + ∂ f ∂ x 0,0 ⏟ 2 ∙ x - 0 + ∂ f ∂ y 0,0 ⏟ - 12 ∙ y - 0

L x , y = 3 + 2 x - 12 y

Resposta

A linearização  L x , y = 3 + 2 x - 12 y está correta

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