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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 18

Calcule

∫ C y + s e n x d x + z 2 + c o s y d y + x 3 d z

Onde C é a curva r → t = s e n t ,   c o s t ,   2 t , 0 ≤ t ≤ 2 π . (Sugestão: observe que C está na superfície z = 2 x y )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos reescrever essa integral como o produto escalar entre um vetor F → e um diferencial d r → :

∫ C y + s e n x d x + z 2 + c o s y d y + x 3 d z = ∫ C y + s e n x , z 2 + c o s y , x 3 ⋅ d x , d y , d z

Beleza! Agora vou usar o outro lado do Teorema de Stokes:

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A

Então agora nosso próximo passo é determinar o rotacional do campo F → .

Passo 2

Assim o rotacional de F → = y + s e n x , z 2 + c o s y , x 3 é:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y + s e n x z 2 + c o s y x 3

= i → ∂ ∂ y ( x 3 ) - ∂ ∂ z ( z 2 + c o s y ) + j → ∂ ∂ z ( y + s e n x ) - ∂ ∂ x ( x 3 ) + k → ∂ ∂ x ( z 2 + c o s y ) - ∂ ∂ y ( y + s e n x )

Fazendo as derivadas parciais vamos ter:

∇ × F → = - 2 z , - 3 x 2 , - 1

Passo 3

Agora precisamos de um vetor normal à superfície S . A curva C está na superfície z = 2 x y , então é essa a superfície S que queremos.

A função z = g x , y é:

z = g x , y = 2 x y

E o vetor normal à superfície é:

n → = - ∂ g ∂ x ,   - ∂ g ∂ y ,   1

Aplicando na função g temos:

n → = - 2 y , - 2 x , 1

Passo 4

Quase lá! Agora vamos calcular o integrando ∇ × F → ⋅ n → :

∇ × F → ⋅ n → = - 2 z , - 3 x 2 , - 1 ⋅ - 2 y , - 2 x , 1 = 4 z y + 6 x 3 - 1

E a região de integração? Bom, olhando para a curva r → ( t ) , no plano x y , vemos que a região é um círculo de raio 1 . Então uma parametrização é:

x = r c o s θ y = r s e n θ z = 2 x y = 2 r 2 s e n θ c o s θ

Com θ entre 0 ≤ θ ≤ 2 π   e r entre 0 ≤ r ≤ 1 .

E o diferencial de área é d A = r d r d θ

O integrando nas novas variáveis é:

∇ × F → ⋅ n → = 4 z y + 6 x 3 - 1 = 8 r 3 s e n 2 θ c o s θ + 6 r 3 cos 3 ⁡ θ - 1

Pronto! Agora que temos o integrando e a região de integração, podemos calcular a integral!

Passo 5

Resgatando do passo 1 :

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 8 r 3 s e n 2 θ c o s θ + 6 r 3 cos 3 ⁡ θ - 1 ) r d r d θ

Integrando com respeito a r   temos:

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = ∫ 0 2 π 8 s e n 2 θ c o s θ r 5 5 + 6 cos 3 ⁡ θ r 5 5 - r 2 2 0 1 d θ

= ∫ 0 2 π   8 5 s e n 2 θ c o s θ + 6 5 cos 3 ⁡ θ - 1 2 d θ

Aí tem uma pequena esperteza: as funções s e n 2 θ c o s θ e cos 3 ⁡ θ assumem valores positivos e negativos no intervalo de 0 a 2 π , então a integral dessas duas vai ser 0 . Então ficamos só com o último termo:

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = - 2 π 2 = - π

Assim temos:

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = ∫ C F → ⋅ d r → = - π

Resposta

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = ∫ C F → ⋅ d r → = - π

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