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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 87

Se ∑ n = 1 ∞ a n   e ∑ n = 1 ∞ b n   são séries convergentes de números não negativos, algo pode ser dito sobre ∑ n = 1 ∞ a n b n   ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Sejam ∑ n = 1 ∞ a n   e ∑ n = 1 ∞ b n   séries convergentes de números não negativos.

Se ∑ n = 1 ∞ a n   é convergente isso indica que a n → 0 quando n → ∞ . Então, existe um inteiro positivo N tal que:

a n < 1 ,     p a r a   t o d o   n > N

Agora, se b n é não negativa então:

a n b n < b n ,     p a r a   t o d o   n > N

Como ∑ n = 1 ∞ b n   é convergente, pelo teste da comparação ∑ n = 1 ∞ a n b n   também converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Por comparação, a série ∑ n = 1 ∞ a n b n   converge.

Exercícios de Livros Relacionados

Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termostendem a 0. Mostre que ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n também é uma série com essa propriedade.
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. 1 3 + 1 6 + 1 9 + 1 12 + 1 15 + …
Determinar se a série converge ou diverge, e se convergir achar a soma: ∑ n = 1 + ∞ 7 53 4 n
Prove que, se ∑ a n é uma série convergente de termos não negativos, então ∑ a n ² ² converge.
Suponha que a_n0 e underset(n - oo)(lim) (a_n) = oo . Prove que sum a_n diverge.