Se ∑ n = 1 ∞ a n   e ∑ n = 1 ∞ b n   são séries convergentes de números não negativos, algo pode ser dito sobre ∑ n = 1 ∞ a n b n   ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Sejam ∑ n = 1 ∞ a n   e ∑ n = 1 ∞ b n   séries convergentes de números não negativos.

Se ∑ n = 1 ∞ a n   é convergente isso indica que a n → 0 quando n → ∞ . Então, existe um inteiro positivo N tal que:

a n < 1 ,     p a r a   t o d o   n > N

Agora, se b n é não negativa então:

a n b n < b n ,     p a r a   t o d o   n > N

Como ∑ n = 1 ∞ b n   é convergente, pelo teste da comparação ∑ n = 1 ∞ a n b n   também converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Por comparação, a série ∑ n = 1 ∞ a n b n   converge.

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