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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.3 - Ex. 39

Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.

39. r = c o t g   θ   c o s s e c   θ

Passo 1

E aí? Ficou confuso com essa questão? Então, me acompanha aí!

Para resolver essa equação em cartesianas, temos primeiro que usar

c o t g   θ = c o s   θ s e n   θ

e

c o s s e c   θ = 1 s e n   θ

Assim,

c o t g   θ   c o s s e c   θ = c o s   θ s e n   θ 1 s e n   θ = c o s   θ s e n 2   θ

Passo 2

Agora, nós temos a equação

r = c o s   θ s e n 2   θ ⇒ r   s e n 2 θ = c o s θ

Para continuar, temos que usar um pequeno truque: multiplicar por r . Assim,

r   s e n 2 θ = c o s θ ⇒ r 2   s e n 2 θ = r c o s θ

Lembrando que

x = r c o s θ

y = r   s e n   θ

ficamos com

( r   s e n   θ ) 2 = r c o s θ ⇒ y 2 = x

que é a equação de uma parábola com vértice em ( 0,0 ) .

Resposta

y 2 = x

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