Suponha que c(x) = x^3 - 20*x^2 + 20000*x se já o custo para manufaturar x itens. Determine o nível de produção que minimizará o custo médio para produzir x itens.

Passo 1

Vamos começar achando o custo médio, que é o custo dividido pela quantidade de itens

c x x = x 3 - 20 x 2 + 20000 x   x

c x x = x 2 - 20 x + 20000

Agora vamos procurar os extremos dessa função, vamos chama-la de c - x

c - x = c x x = x 2 - 20 x + 20000

Passo 2

Para analisarmos o valor que minimiza o custo médio, temos que achar primeiro os pontos críticos e depois, usando o teste da segunda derivada, determinar se esses pontos são de máximo, mínimo ou nenhum deles rs.

Vamos começar pela derivada e os pontos críticos, que são aquele que a derivada é 0

c - ' x = 2 x - 20

Fazendo:

2 x - 20 = 0

2 x = 20

x = 10

Passo 3

Vamos usar o teste da segunda derivada agora:

c - ' ' x = 2

Como ela é positiva em x = 10 , esse ponto é ponto de mínimo.

Assi, devemos ter

x = 10

Para minimizar o custo médio

Resposta

x = 10

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