Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 40
Suponha que e . Se:
ache .
Passo 1
Então galera, para descobrirmos , primeiro temos que resolver esse limite aí, certo? Para resolver esse limite, precisamos determinar e . Para descobrirmos é tranquilão, basta utilizarmos a regra do produto, não é mesmo? No entanto, para determinarmos , o buraco é um pouco mais embaixo e veremos porquê! Descobrindo , teremos:
No qual:
Substituindo na regra do produto, teremos:
Passo 2
Agora que encontramos , vamos determinar . Uma das maneiras de resolver isso seria resolvendo a integral que o problema nos dá, no entanto, essa é uma integral muito difícil de se resolver e só nos faria perder tempo. Para determinarmos com mais facilidade, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo, saca só:
Uai, da onde saiu esse resultado? O teorema fundamental do cálculo, caso você não esteja lembrado, nos diz que a derivada da primitiva é igual a função do integrando. Esse foi o raciocínio utilizado para descobrir ! Substituindo os valores de e no limite, teremos:
Vamos dividir todos os membros por . Se fizermos isso, teremos:
Utilizando as propriedades dos limites, teremos:
Passo 3
Agora chegamos em um limite que nos possibilita analisar o problema com mais profunidade. Se tomarmos , o resultado do limite será:
Uma vez que teríamos algo pequeno dividido por algo muito grande! No entanto, se fizermos , teremos:
Mas como a questão nos diz que:
Então se compararmos esse limite com o que chegamos no passo 2, a conclusão será que , porque aí ficaria: