Enunciado

Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim x → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 2 x   - ln ⁡ ( x + 1 ) ]

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro.

Primeiro, vamos reescrever o limite, usando as propriedades do logaritmo:

lim x → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 2 x   - ln ⁡ ( x + 1 ) ] =   l i m x → ∞ ln ⁡ 2 x x + 1

Se substituirmos o valor x = ∞     ficamos com ∞ ∞ (indeterminado). Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

l i m x → ∞ ln ⁡ 2 x x + 1 = ln ⁡ ( l i m x → ∞   2 x x + 1 ) =

ln ⁡ ( l i m x → ∞ 2 1 ) = ln ⁡ 2

E... Pronto😉

Resposta

lim x → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 2 x   - ln ⁡ ( x + 1 ) ] = ln ⁡ 2

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