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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 39

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 +   l n   x 2 l n s e n   x

Passo 1

Substituindo o limite, obtemos como resultado uma indeterminação do tipo ∞ ∞ :

l i m x → 0 +   l n   x 2 l n s e n   x   = l n 0 l n   s e n 0 = ∞ ∞

Passo 2

Para aplicar o L’Hopital, derivamos o termo com l i m no numerador e no denominador. As derivadas serão dadas por:

l i m x → 0 +   l n   x 2 l n s e n   x   = l i m x → 0 + d d x l n x 2 d d x l n   s e n x → l i m x → 0 + 2 l n ( x ) ⋅ 1 x 1 s e n x ⋅ c o s ( x ) = l i m x → 0 + 2 l n ( x ) ⋅ s e n x x ⋅ c o s ( x )

= l i m x → 0 + 2 l n ( x ) ⋅ t g x x

Passo 3

Substituindo o valor no limite, teremos uma nova indeterminação, agora do tipo 0 0 :

l i m x → 0 + 2 l n ( x ) ⋅ t g x x = l i m x → 0 + l n 0 t g 0 0 = 0 0

Passo 4

Aplicando a regra de L`Hopital mais uma vez, teremos que:

l i m x → 0 + 2 l n ( x ) ⋅ t g x x = l i m x → 0 + 2 d d x l n ( x ) ⋅ t g x d d x x = l i m x → 0 + 2 ⋅ 1 x t a n x + l n x s e c 2 x 1 =

= 2 l i m x → 0 + 1 x t a n x + l n x t a n 2 x + 1 = 2 l i m x → 0 + 1 x t a n x + l n x s e n 2 x c o s 2 x + 1

Passo 5

Fazendo o MMC temos:

= 2 l i m x → 0 + 1 x t a n x + l n x s e n 2 x + c o s 2 x c o s 2 x

E usando a relação s e n 2 x + c o s 2 x = 1 :

= 2 l i m x → 0 + 1 x t a n x + l n x 1 c o s 2 x

Passo 6

Fazendo MMC novamente:

= 2 l i m x → 0 + t a n x c o s 2 x   +   x   l n x x   c o s 2 x

E simplificando os termos:

= 2 l i m x → 0 + s e n x c o s ( x ) c o s 2 x   +   x   l n x x   c o s 2 x = 2 l i m x → 0 + s e n x c o s x   +   x   l n x x   c o s 2 x

Passo 7

Usando a relação s e n ( 2 x ) = 2 ⋅ s e n   x   c o s   x :

= 2 l i m x → 0 + s e n 2 x   +   2 x   l n x 2 x   c o s 2 x

Passo 8

Substituindo o valor no limite, teremos uma nova indeterminação, agora do tipo 0 0 :

2 l i m x → 0 + s e n 2 x   +   2 x   l n x 2 x   c o s 2 x = s e n 0 + 0 l n 0 0 c o s 2 0 = 0 0

Passo 9

Aplicando a regra de L`Hopital mais uma vez, teremos que:

2 l i m x → 0 + s e n 2 x   +   2 x   l n x 2 x   c o s 2 x = 2 l i m x → 0 + d d x s e n 2 x   +   2 x   l n x d d x 2 x   c o s 2 x = 2 l i m x → 0 + 2 ⋅ c o s ( 2 x )   +   2 ⋅ l n ( x )   +   2 x ⋅ 1 / x 2 ⋅ c o s 2 ( x )   +   2 x   ⋅ 2 ⋅ c o s ( x ) ⋅ ( - s e n ( x ) )

Reescrevendo a expressão acima temos:

2 l i m x → 0 + 2 ⋅ c o s ( 2 x )   +   2 ⋅ l n ( x )   +   2 x ⋅ 1 / x 2 ⋅ c o s 2 ( x )   +   2 x   ⋅ 2 ⋅ c o s ( x ) ⋅ ( - s e n ( x ) ) = 2 l i m x → 0 + 2 ⋅ c o s ( 2 x )   +   2 ⋅ l n ( x )   +   2 2 ⋅ c o s 2 ( x )   -   2 x   ⋅ s e n ( 2 x )

Passo 10

Usando a relação :

c o s 2 ( x ) = 1 + c o s ( 2 x ) 2

Temos:

2 l i m x → 0 + 4 ⋅   c o s 2 ( x )   +   2 ⋅ l n ( x )   2 ⋅ c o s 2 ( x )   -   2 x   ⋅ s e n ( 2 x ) = 2 l i m x → 0 + 4 ⋅   c o s 2 ( x )   +   2 ⋅ l n ( x )   1 + c o s ( 2 x )   -   2 x   ⋅ s e n ( 2 x )

Passo 11

Se usarmos as propriedades do limite, podemos reescrever:

2 l i m x → 0 + 4 ⋅   c o s 2 ( x )   +   2 ⋅ l n ( x )   1 + c o s ( 2 x )   -   2 x   ⋅ s e n ( 2 x ) = 2 l i m x → 0 + 4 ⋅   c o s 2 ( x )   1 + c o s ( 2 x )   -   2 x   ⋅ s e n ( 2 x ) + 2 l i m x → 0 + 2 ⋅ l n ( x )   1 + c o s ( 2 x )   -   2 x   ⋅ s e n ( 2 x ) =

= 2 l i m x → 0 + 4 ⋅   c o s 2 ( 0 )   1 + c o s ( 0 )   -   0   ⋅ s e n ( 0 ) + 2 l i m x → 0 + 2 ⋅ l n ( 0 )   1 + c o s ( 0 )   -   2 x   ⋅ s e n ( 0 ) = 2 l i m x → 0 + 1 1 + 1   -   0   + 2 l i m x → 0 + - ∞   1 + 1   - 0 = - ∞

Resposta

l i m x → 0 +   l n   x 2 l n s e n   x = - ∞

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