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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 14

Nos Exercícios 1-18, determine d y // d x .

14. y = (cos x)/(x) + (x)/(cos x)

Passo 1

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ((cos x)/(x) + (x)/(cos x))

Usando regra da soma:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ((cos x)/(x)) + (d)/(d x) ((x)/(cos x))

Para não precisarmos usar a regra da divisão:

No primeiro termo podemos escrever: ( x^(- 1) cos x )

E no segundo termo da soma, podemos usar a relação trigonométrica (1)/(cos x) = sec x e escrever ( x sec x )

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (x^(- 1) cos x) + (d)/(d x) ( x sec x )

Passo 2

Vamos usar a Regra do produto nos dois termos:

(d)/(d x) (u * v) = v (d u)/(d x) + u (d v)/(d x)

Onde, no primeiro termo, u = x^(- 1) e v = co s x

E no segundo termo, u = x e v = s ec x

A equação vai ficar grande, então na hora de fazer muito calma pra não esquecer nada

(d y)/(d x) = ( cos x ) (d)/(d x) (x^(- 1)) + (x^(- 1)) (d)/(d x) (cos x) + (sec x) (d)/(d x) (x) + (x) (d)/(d x) (sec x)

Passo 3

A derivada de ( cos x ) é igual a ( - sen x ) e a derivada de (sec x) é ( sec x tg x ) . Então a equação fica:

(d y)/(d x) = ( cos x ) (- x^(- 2)) + (x^(- 1)) (- s en x) + (sec x) (1) + (x) (sec x tg x)

(d y)/(d x) = - (cos x)/(x^2) - (sen x)/(x) + sec x + x sec x tg x

Resposta

(d y)/(d x) = - (cos x)/(x^2) - (sen x)/(x) + sec x + x sec x tg x

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