Enunciado

Sabe-se que r é uma reta que passa pelo ponto 0,2 e que é tangente ao gráfico de f x = x 3 . Determine r .

Passo 1

Toda reta, é dada por uma equação do tipo:

y = a x + b

Se ela passa pelo ponto 0,2 , podemos substituir na equação:

2 = a ⋅ 0 + b

b = 2

Assim, a reta que procuramos é y = a x + 2

Basta, então, achar o valor de a .

Vamos chamar de x 0 , a abscissa do ponto de tangência, de modo que sua derivada será o coeficiente angular da reta, ou seja:

a = f ' x 0

a = 3 x 0 2

Passo 2

Na reta, temos:

y = 3 x 0 2   x + 2

Se o ponto de tangência também pertence à reta, podemos substituir na equação o ponto x 0 , f x 0 :

x 0 3 = 3 x 0 2   x 0 + 2

x 0 3 = 3 x 0 3 + 2

- 2 x 0 3 = 2

x 0 3 = - 1

x 0 = - 1

Se o ponto de tangência é - 1 , f - 1 , e a = f ' - 1 = 3 - 1 2 = 3 , substituindo na equação da reta:

y = a x + 2

y = 3 x + 2

Logo, a equação de r é dada por y = 3 x + 2 .

Resposta

A equação de r é dada por y = 3 x + 2 .

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