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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.16 - Ex. 12

Determine todos os pontos a , b de R 2 tais que por a , b passem duas retas tangentes ao gráfico de f x = x 2 .

Passo 1

Temos que a formula de reta tangente em p , é dada por:

y - f p = f ' p x - p

y - p 2 = 2 p x - p

y - p 2 = 2 p x - 2 p 2

y - 2 p x + p 2 = 0

Se queremos todos os pontos que passam por duas retas tangentes, temos dois pontos de tangência, vamos chamar de p 1 e p 2 ( p 1 ≠ p 2 ) as abscissas desses pontos que nos dão as duas retas:

y - 2 p 1 x + p 1 2 = 0

e

y - 2 p 2 x + p 2 2 = 0

Passo 2

Para temos a , b , passando pelas duas retas, temos o sistema:

b - 2 p 1 a + p 1 2 = 0 b - 2 p 2 a + p 2 2 = 0

b = 2 p 1 a - p 1 2

⇒ 2 p 1 a - p 1 2 - 2 p 2 a + p 2 2 = 0

a 2 p 1 - 2 p 2 = p 1 2 - p 2 2

2 a p 1 - p 2 = p 1 - p 2 p 1 + p 2

a = p 1 + p 2 2

Se b = 2 p 1 a - p 1 2 :

b = 2 p 1 p 1 + p 2 2 - p 1 2

b = p 1 p 1 + p 2 - p 1 2

b = p 1 2 + p 1 p 2 - p 1 2

b = p 1 p 2

Assim, todos os pontos a , b que satisfazem o que foi pedido, são os pontos p 1 + p 2 2 , p 1 p 2 como p 1 e p 2 são dois números reais quaisquer, distintos, e que representam os valores das abscissas dos pontos de tangência das duas retas.

Resposta

Os pontos a , b que satisfazem o que foi pedido, são os pontos p 1 + p 2 2 , p 1 p 2 como p 1 e p 2 são dois números reais quaisquer, distintos, e que representam os valores das abscissas dos pontos de tangência das duas retas.

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