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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.16 - Ex. 2

Seja f x = x 2 . Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f e paralela à reta y = 1 2 x + 3 .

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? O problema pede para acharmos uma equação da reta tangente. Então vamos usar essa fórmula aqui:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Derivando a f ' x podemos achar o nosso coeficiente angular,

f ' x = 2 x

Mas repara que não sabemos quem é x 0 , mas a questão pede para a reta seja paralela a y = 1 2 x + 3 .

Então vamos usar essa informação para resolver a questão!

Passo 2

Se a reta procurada é paralela à reta y = 1 2 x + 3 , e por definição sabemos que retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular, podemos afirmar que procuramos uma reta cujo coeficiente angular deve ser 1 2 . Ou seja,

f ' x 0 = 1 2

Como,

f ' x = 2 x

Assim, para f ' x 0 = 1 2 , temos:

2 x 0 = 1 2

x 0 = 1 4

Opa! Achamos x 0 , agora é só substituir na fórmula!

Passo 3

Podemos aplicar esses valores na fórmula da reta tangente, ou seja:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde x 0 = 1 4 e f x 0 = 1 16 , temos: y - 1 16 = 1 2 x - 1 4

y = 1 2 x - 1 8 + 1 16

y = 1 2 x - 1 16

Pronto! Achamos a nossa reta tangente.

Resposta

Logo, a reta tangente é a reta y = 1 2 x - 1 16 .

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