Suponha que, em um dado ano, o número de casos de uma doença seja reduzido em . Se existem 10.000 casos hoje, quantos anos serão necessários para:

a) Reduzir o número de casos para 1000?

b) Erradicar a doença; isto é, reduzir o número de casos para menos de 1?

a) Antes de resolvermos, devemos encontrar as constantes utilizando os pontos dados pela questão, tranquilo? Vale ressaltar também que é exatamente o número de casos da doença. A questão nos diz que inicialmente existem casos, certo? Sendo assim, para . Substituindo os valores na equação, teremos:

Ok, encontramos nossa primeira constante. Show!

Agora temos que nos atentar a uma interpretação, ok? O enunciado diz que quando se passarem o valor de será reduzido em . A taxa de redução anual no número de casos da doença é de , o que implica que a cada ano um novo valor de casos será reduzido em 20% novamente até erradicarem a doença. Sendo assim, temos:

Depois de um ano o número de casos da doença será reduzido para , certo? Sendo assim, o ponto que nos é dado é que para . Substituindo os pontos na função, teremos:

Aplicando em ambos os lados da equação, teremos o seguinte:

Para o lado direito devemos lembrar da seguinte regrinha que diz que:

Logo:

Como , então:

Agora que descobrimos os valores de e , temos que a função completa será:

E agora conseguimos descobrir quantos casos existirão para QUALQUER intervalo de tempo! Para reduzir os casos para 1.000, o tempo necessário será:

Aplicando em ambos os lados, assim como fizemos no passo anterior:

b) Para reduzir os casos para 1, o tempo necessário será:

Aplicando em ambos os lados, assim como fizemos no passo anterior:

E está aí nossa resolução, galera! 😉