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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 21

Encontre f 2 + h ,   f x + h   e   f x + h - f ( x ) h onde h ≠ 0 para a função abaixo

f x = x - x 2

Passo 1

Olá, meu caro colega. Vou te ajudar na resolução dessa atividade.

Desejamos encontrar as expressões dadas no enunciado,

f 2 + h ,   f x + h ,   f x + h - f ( x ) h

para isso basta substituirmos o que tem entre os parênteses no lugar de x na nossa função:

f x = x - x 2

E ao calcularmos:

f x + h - f ( x ) h

Iremos também substituir e simplificar ao máximo essa equação.

Passo 2

Para calcularmos f x + h iremos utilizar do procedimento que falamos no passo 1. Sendo assim,

f x = x - x 2

Substituindo x + h no lugar do x :

f x + h = x + h - x + h 2

Agora realizando o produto notável:

f ( x + h ) = x + h - x 2 - 2 x h - h 2

Agora para calcularmos f ( 2 + h ) , iremos substituir o 2 em x na equação que encontramos:

f 2 + h = 2 + h - 2 2 - 2 2 h - h 2

f 2 + h = 2 + h - 4 - 4 h - h 2

Simplificando termos semelhantes:

f 2 + h = - 2 - 3 h - h 2

Por fim, podemos utilizar o resultado anterior para calcularmos f x + h - f ( x ) h .

Então, substituindo na função:

f x + h - f x h = x + h - x 2 - 2 x h - h 2 - x - x 2 h

Realizando as simplificações dos termos semelhantes:

f x + h - f ( x ) h = h - 2 x h - h 2 h

Dividindo todo mundo por h vamos ter:

f x + h - f ( x ) h = 1 - 2 x - h

Resposta

f 2 + h = - h 2 - 3 h - 2

f x + h = x + h - x 2 - 2 x h - h 2

f x + h - f ( x ) h = 1 - 2 x - h

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