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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 22

Suponha que Duƒ denote a derivada de ƒ(x, y) = (x2 + y2)/2 na

direção do vetor unitário u = u1i + u2j.

a. Encontrando o valor médio Encontre o valor médio de

D

uƒ sobre a região triangular cortada do primeiro quadrante

pela reta x + y = 1.

b. Valor médio e centroide Mostre que, em geral, o valor

médio de D

uƒ sobre uma região no plano xy é o valor de Duƒ

no centroide da região.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja D u f a derivada de f ( x , y ) = x 2 + y 2 2 na direção do vetor u = u 1 i + u 2 j . Então:(a) Encontraremos o valor médio de D u f sobre a região triangular cortada no primeiro quadrante pela reta x + y = 1 .(b) Mostraremos que de maneira geral o valor médio de D u f sobre uma região no plano xy é o valor de D u f no centroide da mesma região.Vamos para a resolução? Acompanhe!

Passo 2

Para ∇ f = x i + y temos que D u f = u 1 x + u 2 y . Assim, a área de integração é 1 2 .Temos, portanto que o valor médio é:

2 ∫ 0 1     ∫ 0 1 - x     u 1 x + u 2 y d y d x = 2 ∫ 0 1     u 1 x ( 1 - x ) + 1 2 u 2 ( 1 - x ) 2 d x 2 ∫ 0 1     ∫ 0 1 - x     u 1 x + u 2 y d y d x = 2 u 1 x 2 2 - x 3 3 - 1 2 u 2 ( 1 - x ) 3 3 0 1 2 ∫ 0 1     ∫ 0 1 - x     u 1 x + u 2 y d y d x = 2 1 6 u 1 + 1 6 u 2 2 ∫ 0 1     ∫ 0 1 - x     u 1 x + u 2 y d y d x = = 1 3 u 1 + u 2

Passo 3

Calcularemos o valor médio V m de D u f de maneira literal:

V m = 1  area  ∬ R     u 1 x + u 2 y d A V m = u 1  area  ∬ R     x d A + u 2  area  ∬ R     y d A V m = 1  area  ∬ R     u 1 x + u 2 y d A V m = u 1 M y M + u 2 M x M V m = 1  area  ∬ R     u 1 x + u 2 y d A V m = u 1 x ‾ + u 2 y ‾

Vemos, então, que o valor médio de D u f é o centroide da mesma região.

Resposta

Resposta nos passos.

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