Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 8

Esfera e cilindro Encontre o volume do material cortado da

esfera sólida r2 + z2 ≤ 9 pelo cilindro r = 3 sen u.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Iremos determinar o volume do material retirado de uma esfera de raio 3 por um cilindro dado por r = 3 s e n ⁡ ( θ ) .

Passo 2

O problema pode ser resolvido através da integral:

V = ∫ 0 π   ∫ 0 3 s e n ⁡ θ   ∫ 0 9 - r 2   r d z d r d θ

Passo 3

Integrando em z:

V = ∫ 0 π   ∫ 0 3 s e n ⁡ θ   r 9 - r 2 d r d θ

Integrando em r :

V = ∫ 0 π     - 1 3 9 - r 2 3 / 2 0 3 s e n ⁡ θ d θ V = ∫ 0 π     - 1 3 9 - 9 s e n 2 ⁡ θ 3 / 2 + 1 3 ( 9 ) 3 / 2 d θ V = 9 ∫ 0 π     1 - 1 - s e n 2 ⁡ θ 3 / 2 d θ V = 9 ∫ 0 π     1 - c o s 3 ⁡ θ d θ

E finalmente em θ :

V = 9 θ - s e n ⁡ θ + s e n 3 ⁡ θ 3 0 π V = 9 π

Sendo assim, o volume desejado é V = 9 π .

Resposta

V = 9 π

Exercícios de Livros Relacionados

Cone e planos Encontre o volume do sólido delimitado pelocone z = 2x2 + y 2 entre os planos z = 1 e z = 2
Esfera e semiplanos Encontre o volume da região cortadada esfera sólida r ≤ a e pelos semiplanos u = 0 e u = p/6 noprimeiro octante.
O sólido delimitado abaixo pela esfera r = 2 cos f e acima pelocone z = 2x2 + y 2
Esfera e cones Encontre o volume da porção da esfera sólidar ≤ a que está entre os cones f = p/3 e f = 2p/3.
Seja D a calota menor cortada de uma esfera sólida de raio de2 unidades por um plano a uma distância de 1 unidade do centro da esfera. Expresse o volume de D como uma integral triplaiterada em coorden