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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 6

Coordenadas esféricas Encontre o volume da região delimitada pela superfície em coordenadas esféricas r = 2 sen f

(veja a figura a seguir)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Iremos determinar o volume da região interior à superficie ρ = 2 s e n ⁡ ( ϕ ) em um sistema de coordenadas esféricas.

Passo 2

Utilizando das propriedades de simetria, temos que o volume pedido é dado por:

V = 8 ∫ 0 π / 2   ∫ 0 π / 2   ∫ 0 2 s e n ⁡ ( ϕ )   ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 3

Integrando em ρ :

V = 8 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 π / 2     ρ 3 3 s e n ⁡ ϕ 0 2 s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ V = 64 3 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 π / 2     s e n 4 ⁡ ϕ d ϕ d θ

Integrando em ϕ :

V = 64 3 ∫ 0 π / 2     s e n 3 ⁡ ϕ c o s ⁡ ϕ 3 0 π / 2 d θ V = 64 3 ∫ 0 π / 2     - s e n 3 ⁡ ϕ c o s ⁡ ϕ 4 0 π / 2 d θ V = 16 ∫ 0 π / 2     ϕ 2 - s e n ⁡ 2 ϕ 4 0 π / 2 d θ V = 4 π ∫ 0 π / 2     d θ

E finalmente em θ :

V = 4 π [ θ ] 0 π / 2 V = 2 π 2

Passo 4

Sendo assim, o volume desejado é V = 2 π 2 .

Resposta

V = 2 π 2

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