Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 15

Suponha que determinada população obedece à equação logística d y / d t   = r y [ 1 - ( y / k ) ] .

(a) Se y 0 = k / 3 , encontre o instante τ no qual a população inicial dobrou. Encontre o valor de τ para r = 0,025 por ano.

(b) Se y 0 / K   = α , encontre o instante T no qual y ( T ) / K = β , em que 0 < α ,   β < 1 . Observe que T → ∞ quando α → 0 ou β → 1 . Encontre o valor de T para r = 0,025 por ano, α = 0,1 e β = 0,9 .

Passo 1

Para conseguirmos resolver nossos itens, primeiros precisamos resolver quem é nossa solução geral.

Passo 2

Vamos primeiro usar a ideia de separação de variáveis e reescrever nossa equação logística como

d y y 1 - y K = r d t

Assim vamos apenas para facilitar nossa resolução fazer uma substituição. Tome 1 - y K = u

Assim teremos

d u u u - 1 = r d t

Assim podemos reescrever nossa equação usando a seguinte artimanha

Suponha que podemos reescrever nossa função da seguinte maneira

1 u u - 1 = A u + B u - 1   = A u - 1 + B u u ( u - 1 )

Nesta forma podemos estão tentar determinar quem são A e B por

A u - 1 + B u = 1

Assim quando u = 0 → A = - 1 o que implica que B =   1

Logo temos

d u u - 1 - d u u = r d t

Assim, lembrando que a integral de f ' x f x d x = ln ⁡ f x , temos

ln ⁡ u - 1 - ln ⁡ u = ln ⁡ u - 1 u = r t + c

E

u - 1 u = C e r t → u = 1 1 - C e r t

Assim teremos que

y = K - K 1 - C e r t  

Como uma de nossas soluções possíveis

Fazendo que em t = 0 → y = y 0 então

C = 1 - K K - y 0

Vocês pode ver mais detalhes na Eq. 11 do capítulo.

Passo 3

(a) Agora podemos começar a resolver nosso exercício. Mentira, já tínhamos começado a la em cima. Mas seguindo. Supondo que y 0 = K / 3 , então

C = 1 - K K - K 3 = - 1 2

Então temos que, quando y dobrar

2 3 K = K - K 1 + e r t 2 → 2 3 = 1 - 2 2 + e r t

Isolando e r t

e r t = 4 → t = τ = ln ⁡ 4 r

Com r = 0,025 temos

τ = 55,452   a n o s

Passo 4

(b) Agora se y 0 / K = α , então

C = 1 - K K - y 0 = 1 - 1 1 - y 0 K = 1 - 1 1 - α = α α - 1

Então temos

y T K = β = 1 - 1 1 - α e r t α - 1 = - α e r t α 1 - e r t - 1

Assim buscando isolar e r t

e r t = β ( 1 - α ) α ( 1 - β ) = 0,9 1 - 0,1 ( 0,1 ) ( 1 - 0,9 ) = 81

Assim teremos

T = ln ⁡ 81 r = 175,778   a n o s

Resposta

  1. 55,452 anos
  2. 175,778 anos
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

7. Suponha que determinada quantia S0 está investida a uma taxa anual de retorno r capitalizadacontinuamente.(a) Encontre o tempo T necessário para que a soma original dobre de valor em função de r.(b
13. Uma ferramenta importante em pesquisa arqueológica é a datação por carbono radioativo,desenvolvida pelo químico americano Willard F. Libby.3 Essa é uma ferramenta paradeterminar a idade de determi
12 . Um recém-formado pegou emprestado o valor de R$ 150.000,00 a uma taxa de juros de 6% aoano para comprar um apartamento. Antecipando constantes aumentos de salário, ele esperapagar a uma taxa mens
9. Determinado universitário pede um empréstimo de R$ 8.000,00 para comprar um carro. Afinanceira cobra juros de 10% ao ano. Supondo que os juros são capitalizados continuamente eque os pagamentos são
10. O comprador de uma casa não pode gastar mais de R$ 1.500,00 por mês pelo seu financiamento. Suponha que a taxa de juros é de 6% ao ano, que os juros são capitalizadoscontinuamente e que os pagamen