Suponha que os dois pontos x 1 , y 1 e x 2 , y 2 situem-se no gráfico da reta y = m x + b . Use a fórmula do comprimento de arco para determinar a distância entre os dois pontos.

Enunciado

A distância entre os pontos vai ser o comprimento do arco da reta que ele deu, saindo do ponto e terminando no ponto .

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de , a fórmula vai ser:

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, e a derivada da , que é a função do enunciado.

O intervalo é de , que é o ponto inicial, até , que é o ponto final.

Vamos para a derivada.

Derivando, vamos ter:

Vamos usar por nequnato, mas quando terminarmos as contas, precisamos achar em função das coordenadas dos dois pontos.

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

Como é sempre positivo no intervalo de integração, podemos cortsar aquele expoente com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

Vamos resolver essa integral:

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

Aquela expressão com é um número, então:

Voltando para a nossa integral definida:

Colocando em evidência:

Agora, temos que achar o em função das coordenadas dos pontos. Vamso substituí-los na equação da reta

Ponto :

Subtraindo as duas equações:

Arrumando isso, colocando o em evidência:

Vamos ter:

Achamos o

Agora, colocando em , vamos ter:

Igualando os denominadores dentro do parênteses

Considernado , porque começa em e termina em , vamos ter:

Colocando esse valor na integral:

Podemos simplificar , encontrando: