Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 30
Suponha que os dois pontos e situem-se no gráfico da reta . Use a fórmula do comprimento de arco para determinar a distância entre os dois pontos.
Passo 1
A distância entre os pontos vai ser o comprimento do arco da reta que ele deu, saindo do ponto e terminando no ponto .
Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.
Como temos uma função de , a fórmula vai ser:
Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, e a derivada da , que é a função do enunciado.
O intervalo é de , que é o ponto inicial, até , que é o ponto final.
Vamos para a derivada.
Derivando, vamos ter:
Vamos usar por nequnato, mas quando terminarmos as contas, precisamos achar em função das coordenadas dos dois pontos.
Passo 2
Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:
Como é sempre positivo no intervalo de integração, podemos cortsar aquele expoente com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo
Passo 3
Vamos resolver essa integral:
Primeiro, vamos ver a integral indefinida:
Aquela expressão com é um número, então:
Passo 4
Voltando para a nossa integral definida:
Colocando em evidência:
Passo 5
Agora, temos que achar o em função das coordenadas dos pontos. Vamso substituí-los na equação da reta
Ponto :
Ponto :
Subtraindo as duas equações:
Arrumando isso, colocando o em evidência:
Vamos ter:
Achamos o
Passo 6
Agora, colocando em , vamos ter:
Igualando os denominadores dentro do parênteses
Considernado , porque começa em e termina em , vamos ter:
Colocando esse valor na integral:
Podemos simplificar , encontrando: